فعالیت صفحه ۲۹ ریاضی و آمار یازدهم انسانی
نمودار قطار زیر قطاری را نشان می‌دهد که از تهران به مشهد رفته است.
۱. مفهوم قسمت‌هایی که نمودار تابع ثابت است چیست؟
۲. ضابطه تابع (مکان-زمان) قطار از لحظه رسیدن به شاهرود تا لحظه ترک نیشابور را به دست آورید.
۳. اگر قطار مطابق ضابطه بخش ۵ و بدون توقف در نیشابور به مسیر خود ادامه دهد، در چه زمانی به مشهد می‌رسد؟
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه ۲۹ ریاضی و آمار یازدهم انسانی
این فعالیت یک مثال عالی از کاربرد **توابع چندضابطه‌ای** در تحلیل حرکت است. در این نمودار، محور افقی ($\\text{x}$) **زمان (ساعت)** و محور عمودی ($\\text{y}$) **مسافت طی شده (کیلومتر)** از مبدأ (تهران) است.
### ۱. مفهوم قسمت‌هایی که نمودار تابع ثابت است چیست؟
**تابع ثابت** در یک بازه، به این معناست که با تغییر متغیر مستقل ($\\text{x}$ یا زمان)، متغیر وابسته ($\\text{y}$ یا مسافت) **تغییر نمی‌کند**.
* **نقاط و بازه‌های تابع ثابت در نمودار:**
* **بازهٔ (۲) و (۴) (ناحیهٔ افقی):** در این بازه‌ها، زمان در حال گذر است اما مسافت طی شده ثابت باقی مانده است.
* **مفهوم:** ثابت بودن مسافت طی شده در حالی که زمان می‌گذرد، نشان‌دهندهٔ **توقف کامل قطار** است. این توقف‌ها مربوط به ایستگاه‌های بین راه است.
### ۲. ضابطه تابع (مکان-زمان) از لحظه رسیدن به شاهرود تا لحظه ترک نیشابور
برای به دست آوردن ضابطه، باید ناحیه مربوط به حرکت بین ایستگاه‌ها را پیدا کنیم. این یک **تابع چندضابطه‌ای** خواهد بود.
**الف) از لحظه رسیدن به شاهرود تا ترک آن (بازه ۳ و ۴):**
1. **رسیدن به شاهرود (نقطه ۳):** زمان $\text{t} = 3$ ساعت، مسافت $\text{d} = 300$ کیلومتر.
2. **ترک شاهرود (نقطه ۴):** زمان $\text{t} = 5$ ساعت، مسافت $\text{d} = 450$ کیلومتر.
**ب) از لحظه ترک شاهرود تا رسیدن به نیشابور (بازه ۴ و ۵):**
1. **ترک شاهرود (نقطه ۴):** $\text{t} = 5$ ساعت، $\text{d} = 450$ کیلومتر.
2. **رسیدن به نیشابور (نقطه ۶):** $\text{t} = 8$ ساعت، $\text{d} = 875$ کیلومتر.
* **توجه:** در صورت سؤال، 'لحظه رسیدن به شاهرود تا لحظه ترک نیشابور' خواسته شده است. شاهرود در $\text{t}=3$ شروع می‌شود و نیشابور در $\text{t}=8$ ترک می‌شود.
**ضابطه در بازه $\mathbf{3 \le \text{t} \le 8}$:**
$$\text{d}(\text{t}) = \begin{cases} \mathbf{450} & 3 \le \text{t} \le 5 \quad (\text{توقف در شاهرود}) \\ \text{a}\text{t} + \text{b} & 5 < \text{t} \le 8 \quad (\text{حرکت به سمت نیشابور}) \end{cases}$$
**محاسبه ضابطه حرکت (بازه $5 < \text{t} \le 8$):**
1. **شیب (سرعت):** $\text{a} = \frac{875 - 450}{8 - 5} = \frac{425}{3} \approx 141.67 \frac{\text{km}}{\text{h}}$
2. **عرض از مبدأ ($\\text{b}$) با استفاده از نقطه $(5, 450)$:**
$$\text{y} = \text{a}\text{x} + \text{b} \quad \Rightarrow \quad 450 = \frac{425}{3}(5) + \text{b}$$
$$450 = \frac{2125}{3} + \text{b} \quad \Rightarrow \quad \text{b} = 450 - \frac{2125}{3} = \frac{1350 - 2125}{3} = -\frac{775}{3}$$
**ضابطه کامل:**
$$\text{d}(\text{t}) = \begin{cases} \mathbf{450} & 3 \le \text{t} \le 5 \quad \text{از رسیدن تا ترک شاهرود} \\ \mathbf{\frac{425}{3} \text{t} - \frac{775}{3}} & 5 < \text{t} \le 8 \quad \text{از ترک شاهرود تا نیشابور} \end{cases}$$
### ۳. زمان رسیدن به مشهد (مطابق ضابطه بخش ۵ و بدون توقف)
**ضابطه بخش ۵** همان ضابطهٔ حرکت از شاهرود تا نیشابور است: $\mathbf{\text{d}(\text{t}) = \frac{425}{3} \text{t} - \frac{775}{3}}$
* **مقصد:** مشهد، در مسافت $\mathbf{950}$ کیلومتری.
* **شروع حرکت از نیشابور:** زمان $\mathbf{\text{t} = 8}$ ساعت، مسافت $\mathbf{875}$ کیلومتر.
* **فرض:** قطار با همین سرعت ($\\text{a} = \frac{425}{3}$) و **بدون توقف** از $\text{t}=8$ ادامه می‌دهد.
باید معادله را برابر با $\mathbf{950}$ قرار دهیم و $\text{t}$ را محاسبه کنیم:
$$\frac{425}{3} \text{t} - \frac{775}{3} = 950$$
$$\frac{425}{3} \text{t} = 950 + \frac{775}{3} \quad \Rightarrow \quad \frac{425}{3} \text{t} = \frac{2850 + 775}{3}$$
$$\frac{425}{3} \text{t} = \frac{3625}{3} \quad \Rightarrow \quad 425\text{t} = 3625$$
$$\text{t} = \frac{3625}{425}$$
**ساده‌سازی کسر:**
$$\text{t} = \frac{3625 \div 25}{425 \div 25} = \frac{145}{17}$$
$$\text{t} = 8 + \frac{9}{17} \approx 8.529 \text{ ساعت}$$
**پاسخ نهایی:**
قطار در زمان $\mathbf{\text{t} = \frac{145}{17}}$ ساعت (حدود $\mathbf{8.53}$ ساعت) به مشهد می‌رسد. این زمان **از لحظهٔ حرکت از تهران** محاسبه شده است.
